Mathematisches Duett

Diese Nicht-Vergleichbarkeit schafft in der Mathematik seit mehr als 100 Jahren Probleme. Einen Teil davon konnte der Professor der Freien Universität Bozen bereits lösen. Vor 15 Jahren begründete Andreas Hamel mit seiner Habilitationsschrift gemeinsam mit seinem Kollegen Andreas Löhne einen neuen Teilbereich der Mathematik: Dank der sogenannten set optimization, der Mengenoptimierung, gelingt es, komplexe Datenmengen ähnlich zueinander in Relation zu setzen wie Zahlen. Ein Modell, das auch in der Finanzmathematik erfolgreich eingesetzt wird – wo es beispielsweise ermöglicht, Operationen mit unterschiedlichen Währungen problemlos zu bewältigen, weil die Transaktionskosten darin automatisch integriert werden können.

Daniel Kostner bot die set optimization eine Basis, auf der er seine Doktorarbeit im Bereich der multivariaten Statistik aufbauen konnte. Denn auch dort gerät die exakte Wissenschaft Mathematik leicht ins Schleudern, wenn der Bereich der Zahlen verlassen wird. Nicht zuletzt beim Quantil, also dem Lagemaß, das festlegt, wie viele Werte einer Verteilung über oder unter einer bestimmten Grenze liegen. So einfach seine Bestimmung in der Einkommensberechnung mit dem sogenannten Median gelingt, so schwierig wird sie bei multidimensionalen Vektoren.

Dank der set optimization und der Inspiration durch ein bereits bestehendes Hilfskonzept, der sogenannten Tukey depth functions, gelangten Kostner und Hamel jedoch zu einer Lösung. Mit dem neuen Konzept der mengenwertigen Quantile gelang es ihnen, mehrdimensionale Objekte wie Zahlen anzuordnen und zugleich Unvergleichbares nicht unter den Tisch fallen zu lassen. „Die Quantile fungieren in diesem Fall als eine Art Hülle, die multivariate Objekte gruppiert und in Relation zueinander setzt“, erklärt Daniel Kostner. Weit mehr als statistische Akrobatik, wenn man bedenkt, wie komplex die Entscheidungen werden, die Maschinen heute treffen müssen – und erst recht in Zukunft treffen werden müssen. Man muss nur an das oft zitierte selbstfahrende Auto denken, um eine Ahnung zu bekommen, wie viele unterschiedliche Variablen – von Straßenlage, Wetter bis hin zu Verkehrsregeln – ein solches Auto einordnen und in eine Hierarchie zueinander setzen muss.

Noch ist es zu früh abzuschätzen, wie hoch die technologischen Sprünge sein werden, die dank des neuen Lösungsansatzes des unibz-Doktoranten und seines Professors möglich werden. In einem zweiten und dritten Teil seiner PhD-Arbeit hat Daniel Kostner aber bereits ein konkretes Anwendungsbeispiel für solch multivariate Quantile in Form eines Multi- Criteria-Decision-Making-Ansatzes samt dem dazugehörigen Algorithmus erarbeitet. Ein System, das Entscheidungen auf Basis von unterschiedlichen und auch miteinander in Konflikt stehenden Kriterien ermöglicht, wie beispielsweise bei den Empfehlungen, die uns Amazon oder Spotify aufgrund bisher getätigter Käufe oder gehörter Musik geben.

Vor wenigen Wochen wurde Daniel Kostners und Andreas Hamels Paper zu den mengenwertigen Quantilen vom „Journal of Multivariate Analysis“ veröffentlicht – und stieß nicht nur dort auf großes Interesse. Bis Ende August will Kostner nun den letzten Teil seiner Doktorarbeit abschließen. Danach erwartet ihn bereits ein nächstes Forschungsprojekt: Gemeinsam mit Prof. Alex Weissensteiner, der auch an der Fakultät für Wirtschaftswissenschaften lehrt und forscht, erarbeitet er für Obstbauern eine individuelle Entscheidungshilfe, mit welcher Option sie sich am günstigsten gegen Hagel schützen. Damit wird selbst die heimische Landwirtschaft von den neu entdeckten Dimensionen des Quantils profitieren.